Les nombres sont fantastiques

Ils sont révélateurs de merveilles

Tout est modélisable sous forme de nombres, la nature et l'univers entier est donc un modèle mathématique.

La magie et l'alchimie c'est l'art de composer les éléments entre eux. Composer et mélanger c'est le jeu même de al jabr (l'algèbre) qui veut dire la reconstruction, la recomposition. On doit l'algèbre à Al'Khwarizmi qui dans son livre "Hisab al-jabr w'l muqabala" en 830 décrit la méthode. Son nom donnera également le terme algorithme et algorithmique (ensemble des activités des techniques et règles logiques qui décrivent un calcul) tout programme informatique y compris ce site suit un algorithme.

Les nombres décrivent l'univers, les mathématiques cherchent à les comprendre, l'algorithmique sert à les composer. Ainsi il existerai un modèle

En informatique on sait simuler un élément naturel par composition de fractales ("ensemble de suites numériques").

En voici quelques une que j'ai composé.

 
Un sapin et une fleur

Une boule de cristal sur un support et une "galaxie"

Un vase et une pierre de malachite

Par les mathématiques et les nombres serions nous alors capabale de comprendre, recomposer et pourquoi pas agir sur ce qui nous entour ou influencer notre environnement ?

Magie, alchimie, nombres, mathématique ? Je vous laisse chercher, car dans cette discipline c'est le cherchant qui détient les clefs, il ne peut les donner à personne.

Quest ce qu'un nombre ?

Un nombre est manipulable selon deux formes :

• La quantité ou valeur, qu'il représente, on parlera de son poids.
• De la façon que nous avons de l'écrire, son codage.

Nous nous amuserons des deux.

Tout d'abord apprenons à compter

La représentation dite "arabo-indienne" ou positionnelle, ne fut possible que par l'apport des indiens du symbole zéro car auparavant on ne savait pas représenter "rien", ce qui conduisait à des formes de codages complexes et mal aisées pour le calcul.

Cette notation est un codage dépendant de la base dans laquelle on compte.

Ainsi si l'unité de base peut prendre deux valeurs (0 ou 1) on la dit binaire,

Si celle-ci peut prendre dix valeurs (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) on la dit décimale.

On appel "un chiffre" le caractère (symbole) permettant de désigner une valeur (poids) de l'unité. Ainsi 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sont des chiffres, alors que 1256 est un nombre constitué des quatre chiffres : 1,2,5 et 6.

Notons que lorsque je dis : "j'ai 8 billes dans mon sac", 8 est un nombre constitué de un seul chiffre.

Il existe autant de bases que l'on peut en inventer (en informatique on utilise aussi l'hexadécimal dont l'unité peut prendre seize valeurs).

Un nombre se lit de la droite vers la gauche. En effet si nous ne savons pas combien il y a de digits (chiffres) dans un nombre on ne sait pas si on parle de centaines, milliers ou dizaines.

Ainsi 1256 comptant quatre chiffres je sais que 1 désigne le nombre de milliers (car il y a trois chiffre à sa droite), 2 le nombre de centaines, 5 le nombre de dizaines et 6 le nombre d'unités. Je pourrais alors énoncer de la gauche vers la droite cette fois : mille deux cent cinquante six. Car nous comptons en base dix.

Le codage en fait s'énonce comme suit

Chaque colonne correspond à une puissance de dix, qui correspond à une valeur de la colonne si un chiffre y est inscrit. Il suffit alors de multiplier la valeur de la colonne par le chiffre qui y est inscrit et d'additionner l'ensemble :

       10³     10²     10¹     10⁰

      Mille   cent    dix    unité

      1000    100     10       1

         1        2        5        6      1256

         1                                   1 x 1000 =   1000

+

                  2                         2 x 100   =     200

+

                            5                5 x 10     =       50

+

                                     6      6 x 1       =        6

                                                           è  1256

L'avantage de ce système c'est qu'il est répétitif à l'infini et adaptable à toute base possible.

En effet :

La quantité Dix, représentée par 10 en base dix, qui se traduit par une dizaine et zéro unité, se code en binaire par 1010, qui se traduit par une "huitaine" plus zéro "quatraine" plus une "deuzaine" et zéro unité soit

        2³       2²       2¹       2⁰

    huitaine       deuzaine  

             quatraine         unité

       huit  quatre deux    un

         1        0        1        0

         1                                   1 X 8      =        8

                  0                         0 X 4      =        0

                            1                1 x 2       =        2

                                      0      0 x 1       =        0

                            1010 (base2)            è      10 (base 10)

Voila, maintennt nous savons compter nous ne confondons pas valeur et représentation.

En effet si nous voulons progresser vers une étude symbolique des nombres et une étude alchimique de ceux ci, nous devons prendre garde à ne pas tomber dans les pièges faciles de la représentation. Il faut différentier la forme d'un nombre ou du calcul engendré qui dépendent du codage, c'est à dire d'une forme d'écriture, par rapport à ses propriétés intinsèques qui ont une importance certaine dans la représentation du monde et sa compréhension.

souvenez vous pour simplifier cette distinction que :

Amour s'écrit : amore en italien, love en anglais, liebe en allemant et encore sous de multiples formes et représentations en arabe, hébreux, russe, indy, chinois, japonais etc...

Mais le sentiment, la valeur intrinsèque du mot reste identique pour tous les hommes.

Les nombres premiers

Ce sont des nombres qui ne peuvent être divisés que par eux même exclusion faite de un.

Ils présentent beaucoups de particularités dans leurs comportement et dans ce qu'ils apportent au calcul mathématique.

Les nombres premiers inférieurs à 1000

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Amusons nous

91 n'est pas premier (sa décomposition en facteurs premiers est 91 = 13 x 7) mais il nous permet une petite observation amusante de sont comportement dans les suites qu'il peut générer

1 x 91 = 091

2 x 91 = 182

3 x 91 = 273

4 x 91 = 364

5 x 91 = 455

6 x 91 = 546

7 x 91 = 637

8 x 91 = 728

Lisez les résultats colonne après colonne de haut en bas et de bas en haut, on obtient 0123456789 puis 98765432 puis 87654321.

Déjà 9 non premier (issue de la décomposition en nombre premier 3x3) a la même caractéristique

Bien connue de tous les potaches en veine d'apprendre plus facilement leurs tables.

1 x 9 = 09

2 x 9 = 18

3 x 9 = 27

4 x 9 = 36

5 x 9 = 45

6 x 9 = 54

7 x 9 = 63

8 x 9 = 52

9 x 9 = 81

37 est un nombre premier et en choisissant judicieusement un facteur premier pour le multiplier on a :

37

3 x 37 = 111

6 x 37 = 222

9 x 37 = 333

12 x 37 = 444

15 x 37 = 555

18 x 37 = 666

21 x 37 = 777

24 x 37 = 888

27 x 37 = 999

Explication

37 est premier

On le multiplie par un autre nombre premier qui est 3 on obtient 111 (on dit que 3 x 37 est la décomposition en facteurs premiers de 111)

puis après la suite est générée avec la multiplication de 3 dans N.

3 x 2=6 è6 x 37 = 3 x 37 x 2 = 111 x 2 = 222

3 x 3=9 è9 x 37 = 3 x 37 x 3 = 111 x 3 = 333

Etc…

Après 9 la suite prend une nouvelle forme sur un cycle de dix itérations, je me suis arrêté de l'étudier à la 37^ième.

Notons, non sans une pointe d'humour en clin d'œil à la symbolique magique, que l'on observe ici que 666, sulfureux nombre du "Malin", n'est pas si joli lorsqu'on se rend compte que sa décomposition en facteurs premier est

2 x 3 x 3 x 37

C'est déjà moins sexy. Déjà 2 x 3 x 3 ce n'est pas terrible (le deux fois très saint en symbolique) mais 37 sa casse tout le groove.

En chiffrement (codage secret des messages) on emploi la décomposition en facteurs premier d'un très grand nombre, celle-ci est théoriquement unique. Mais ce n'est peut être pas le cas, la clé peut malheureusement avoir une faille qui permet de casser le code, c'est le cas des sur-multiples de 111.  Les nombres employés en cryptographie ont de 128 à 256 chiffres (voire plus).

Jouons entre la quantité et sa représentation

1 x 9 + 2 = 1 1

1 2 x 9 + 3 = 1 1 1

1 2 3 x 9 + 4 = 1 1 1 1

1 2 3 4 x 9 + 5 = 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 x 9 + 6 = 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 x 9 + 7 = 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 x 9 + 8 = 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 x 9 + 9 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 9 + 10 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1